ペアノの公理による1+1=2の証明

ペアノの公理

自然数は以下を満たす。
(1)自然数 0 が存在する。

(2)任意の自然数 a にはその後者 (successor)、suc(a) が存在する(suc(a) は a +
1 の "意味")。

(3)0 はいかなる自然数の後者でもない(0 より前の自然数は存在しない)。

(4)異なる自然数は異なる後者を持つ。つまり a ≠ b のとき suc(a) ≠ suc(b) となる。

(5) 0 がある性質を満たし、a がある性質を満たせばその後者 suc(a) もその性質を満たすとき、すべての自然数はその性質を満たす。

ペアノの公理を満たす集合に対して加法が以下のように定義される。
すべての自然数 a に対して、a + 0 = a
すべての自然数 a, b に対して、a + suc(b) = suc(a + b)

ここで、

suc(0) := 1
suc(suc(0)):=2と定義すると。


加法の定義の二番目にa=suc(0) ,b=0を代入して
suc(0)+suc(0)=suc(suc(0)+0)
   =suc(suc(0)) (加法の定義一番目の定義より)
ゆえに1+1=2

ところで、ペアノの第五公理がないと加法が定義されないと聞いたけどそれはなぜ?
ないと自然数が一直線にならばないのは分かるけど。