変な微分方程式を解こう。

微分方程式でうまく再帰させて巨大数を作れないかなと考えたときの副産物。巨大数はまだ作れていない。

問題:

複素関数f(z)に対して f(f(z)) =  df/dzの非自明解を見つけよ。

答え:

f(z) = c z^aと置くと、

f(f(x)) = c(c z ^a)^a = c c^a z^(a^2)

df/dz = ca z^(a-1)

よって c^a z^(a^2) = a z^(a-1)

a^2 = a -1,c^a = a

これを解いて a = - ω, -ω^2, c = (- ω)^(-ω^2), (-ω^2)^(-ω) ただしω=exp(2/3πi)

問題を作った動機:

実関数でf(f(x)) = df/dxを考えると、ものすごく急成長する関数作れないかなと思って。

非自明な解が見つかって面白かった。他に解はないのだろうか。