力学の初歩の講義やったので、講義ノート公開。
さっき力学の初歩の講義やったので、講義ノート公開。ニュートンの三法則と運動量の保存とエネルギーの保存を目標にしている。書きっぱなしのやつで未校正。
ニュートンの三法則
1.物体は外部から作用を受けなければその速度は一定である。動いているものは動き続け、止まっているものはいつまでも止まっている。
2. F = ma = m x’’(t) = d/dt (mv) 重いものほど動かしにくい。
3.物体が他の物体に力を及ぼす時、その物体は同じ大きさの反対向きの力を他方の物体から受けている。作用反作用
2から1は出せる。
F = ma でF =0 -> d/dt mv = 0 -> mvは一定 vは一定。
a = dv/dt, v = dx/dt
時間微分が0 = 一定
2と3 で 重いものと軽いものが押しあったら、軽いほうがより加速される。
F = ma_1
-F = M a_2
m a_1 = - M a_2
M =2mだったら
a_1 = -2 a_2
運動量の保存 各物質のmvの和が不変
力を及ぼし合っている2つの物質を考えよう。
F_21 (2から1への力) = m_1 a_1
F_12 = m_2 a_2
第三法則より F_12 = -F_21
より m_1 a_1 + m_2 a_2 = 0 -> d/dt ( m_1 v_1 + m_2 v_2) = 0
->m_1 v_1 + m_2 v_2 = 一定-> 運動量は一定。
もっとたくさん物質合っても同じように説明できる。
外部から力がないときの重心の速度一定法則
m_1 + m _2 = Mとする
(m_1 x_1 + m_2 x_2 )/M = Xとすると dX/dt = V dV/dt = Aとすると
MV = m_1 v_1 + m_2 v_2
d/dt(M V) = 0と置けて。重心の速度一定が導ける。
外部から力があるときの重心の運動は？
F_21 + F_外1 =m_1 a_1
F_12 + F_外2= m_2 a_2
両辺を足して F_外1 + F_外2 = M dV /dt となる。
F_外1 + F_外2 =Fとすると、
F = M A
質量Mの質点の運動方程式とおなじになる。
今は２つでやったけど、一万個でもいい。
実際の物質は分子でできている。分子の数だけでもいい。
なので実際の物質でも重心と全体に外から掛かる力の合計がわかれば、
内部でどんな力が働いているか知らなくても運動が分かる。
中でどんな力が働いているか知らなくても外からの力の合計がわかれば重心の位置はわかる。
エネルギー保存の法則
Fが何かの関数の微分でかけるとき、(保存力)
F = -dU(x)/dx
m a + dU/dx =0
両辺にvをかけて
m a v + dU/dx dx/dt =0
m a v = d/dt (1/2 mv^2 ) =dK/dt K = 1/2 mv^2
dU/dx dx/dt = dU/dt
より
d/dt (K+U) = 0
K+U=一定 ->エネルギー保存の法則
具体例 バネ ->力は伸びに比例する
F = - k x
ma = - kx
w^2 = k/mとすると
a = - w^2 x
x’’(t) = - w^2 x(t)
wはrad/秒
この答えは x = A sin(√(k/m) t)
https://www.wolframalpha.com/input/?i=x(t)%27%27+%3D+-+a%5E2+x(t)
振動する。
-k x = - d/dx (1/2 k x^2 ) とかけるので、
1/2 mv^2 + 1/2 k x^2が保存するはず。時間によらない
v ^2 = A^2 w^2 cos^2(w t)
1/2 m A^2 w^2 cos^2(w t) + 1/2 k A^2 sin^2 (wt)
w^2 = k/m
1/2 k A^2 cos^2(w t) + 1/2 k A^2 sin^2 (wt) = 1/2 k A^2 確かに一定。tによらない。
具体例2 落下する物体
F = mg (一定)
ma = mg
a = g
之を解くと
x = 1/2 g t ^2 + At + C
F = - d/dx (-mgx)とかけるので
1/2 mv^2 - mgx が一定になるはず。
v = gt +A
1/2 m (gt + A)^2 - mg (1/2 g t ^2 + At + C) = 1/2 m A^2 - mgC となり一定。
A=C =0のとき
v = gt
1/2 mv^2 = 1/2 m g^2 t ^2
- mgx = -1/2 m g^2 t ^2
1/2 mv^2 - mgx =0となり一定。
エネルギーは保存するか？
例えば F= - kv となる摩擦力の場合はエネルギーは保存しない。
Fが何かの関数の微分でかけるとき、(保存力)
F = -dU(x)/dx
となるためには力が場所にのみ依存する。
vとか入っていたら無理。
こういうときはエネルギー保存しているの?
力学エネルギー以外を足すと保存している。
