素数大富豪、脱初級者テクニック集
最近大流行の素数大富豪。ルール等はこちらを参照。初めてやるときは、
グロタンカット(57)もラマヌジャン革命(1729)も合成数出しもなしのルールでやるのが簡単でおすすめです。
今回はやってて気づいた戦術について述べます。
基本戦術
このゲームは基本的には偶数(と5)を処理するゲーム。
面倒なので以降、「偶数カード」と書くとき2,4,5,6,8,10,12を意味することにする。
出した枚数が、偶数カード>奇数カードなら好手、偶数カード=奇数カード なら凡手、偶数カード<奇数カードなら悪手と言える。
ただし、2は単独消費が可能なのと、後述するように合成数出しで活躍するので、4以上の偶数カードより消費の優先度が下がる。
５も単独消費が可能なので、消費の優先度は下がる。
グロタンカット(57)
5の消費に使えるぐらい。
ラマヌジャン革命(1729)について
奇数を大幅に消費するので悪手。
合成数出しについて
奇数 = 奇数 * 奇数 * 奇数…という出し方をしても奇数を大幅に消耗してしまうので悪手。
奇数 =奇数の偶数乗 も好手にならない。
偶数 = 2^偶数 * 奇数^偶数
偶数 = 2^偶数
という出し方なら好手になる。
例えば
1024 = 2^10 は偶数カード5枚も使うのでかなりの好手。
64 = 2^6 も 偶数カード4枚消費でかなりの好手。
5の倍数 = 5^偶数もだいたい好手。
1枚出しについて
持ちカードが少なく、かつ自分が親なら2の一枚出しは良手になるが、2は前述したように合成数出しにも使えるのでケースバイケース。5も良手。それ以外の1枚出しは全て悪手。
2枚出しについて
安全に偶数を処理できるが、全て凡手になる。1213が作れる最大の素数ということは覚えていてもいい。
3枚出しについて
偶数,偶数,奇数 の組み合わせだけが良手、基本的にはこれを狙う。以下に2を使わないこの条件の素数を小さい順に記す。
443,449,461,463,467,487,641,643,647,661,683,863,881,1049,1061,1063,1069,1087,1249,1283,
意外に少ない。全部覚えてもいい。
特に44*,64*,106*は、2,3,5,11の倍数以外、全て素数になるので覚えておいたほうがいい。
Todo:5もいれて考えます。
4枚出し以上について
素数かどうかの判定は運試しになる。1発逆転が必要なときにやる。数が小さいほど素数である確率は高まるので、できるだけ小さい数を作る。2,3,5,11ぐらいの素因数判定はやっておこう。桁数が少なかったら7も。奇数を入れるともったいないので最後の桁以外はいれないようにしたい。
全部出しについて
素数定理により、n以下の整数に素数はおよそn/log(n)から、n枚出し ≒10^nから10^(n-1)の数を出したとき素数である確率は
(10^n/ (n ln(10)) - 10^(n-1)/( (n-1) ln(10) ) ) / 9*10^(n-1)
= 10/(9 ln(10)) ( 1/n - 1/(10(n-1)) )
≒ 1/ n ln(10) ≒ 0.4/n
つまりn枚出しをした時ペナルティーを考慮して捌ける枚数の期待値は
n(0.4/n) - n( 1 -0.4/n) ≒ 0.8 - n
これは負であり、かつnが大きいほど小さいので、全部出しは枚数が多いほどダメな手である。一発逆転を狙うとき以外はやらないほうがいい。
