ナブラ演算子ゲーム、追加ルール提案

この前、東大でナブラ演算子ゲーム買いました。

ルール等は

nablagame.com

を参照。

買ってから1日4時間ぐらいはこのゲームのことを考えています。素晴らしいゲームだと思います。

で、いろいろやってみて、定義域が空集合な関数の扱いや、|x|とxの違いやら、積分定数の取り扱いの曖昧さに不満を抱いたので、自分なりにルールを追加、修正してみました。ご参考下さい。

  1. 積分の際、積分定数積分を行ったものが選ぶことが出来る。
    例: ∫sin(x) = 1- cos(x)

  2. プレイヤーは任意のタイミングで自分あるいは敵の関数を正の定数倍することができる。(負の定数倍は不可)

  3. 定義域が微分可能な領域を含んでいない関数、定義域が空集合な関数は0と見なす。例:log(log(sin(x))), log(-1/x^2) 注:単調増加関数の逆数とって微分してlogか√つけると簡単にできる。

  4. lim x->0はlim x->+0あるいはlim x->-0と解釈してもいい。

  5. 定数倍ルールで関数を減らすとき、どれを残すかは関数の持ち主が決める。

  6. ある手持ちの関数が有限の領域で定数倍を除いて他の手持ちの関数と同じとき、どちらかの関数を消さないといけない。どれを残すかは関数の持ち主が決める。例:|x|とxが残ったときはどちらかを消さないといけない。

     

  7. 定義域Aに[a,∞) a∈Aを含んでいなくても、Aが上に有界でなければ、Aに属する単調増加数列a_n (lim n->∞ a_n =∞)に対して lim f(a_n)がa_nの取り方によらずαとなるとき、lim x->∞ f(x) =αと定義する。-∞への極限、limsupも同様。
    例:lim x->∞ e^(-x)√sin(x) = 0、limsup x->∞ √sin(x) = 1 

     

  8. 計算の結果は初等関数の組み合わせで記さないといけない。無限級数等で示すことも不可。例:∫exp(-x^2) =erf(x)は不可。

  9. limは±∞か、定数にならない限り取れない。例: lim x->∞ xsin(x) は不可。

もともとが微分積分と親しむためのゲームなので、このような厳密化は公式には採用しないという気持ちは分かるのですが、解析上段者同士の勝負や大会など開くときに参考になればよいかと思います。

実関数だけだと何かと窮屈なので複素関数+超関数にゲーム拡張してデルタ関数カード、フーリエ変換カード、演算子の組み合わせexp(d/dx)とかを可能にするルール、などあればもっと楽しいかなと思いました。