ここではħ = 1、Xを位置演算子、Pを運動量演算子、一次元の量子力学を考えます。
問題:次の矛盾はどう解消されるか?
正準交換関係[X,P] = i において、
左辺を位置固有状態|x>で挟むと、
<x|[X,P]|x> = <x| XP |x> - <x|PX|x> = x <x|P|x> - <x|P|x>x = 0
右辺を|x>で挟むと、<x|i|x>=i<x||x>=i
故に0=i
答え:
X|a> = a|a>, X|b>=|b>
位置固有状態|a>,|b>を用いて
左辺を<b|, |a>で挟むと、
<b|XP|a>= -i bδ’(b-a)
<b|PX|a> = -i aδ’(b-a)
より<b|X,P]|a>=-i (b-a)δ’(b-a)。
b-a = zと置くと、
<b|X,P]|a>= -izδ'(z)
ところで、任意の関数f(z)に対して
∫dz f(z)zδ'(z) = -∫dz f'(z)zδ(z) - ∫dz f(z)δ(z) = - ∫dz f(z)δ(z)より、
zδ'(z) = -δ(z)。
よって、
<b|X,P]|a> = -izδ'(z) = i δ(z) = i<b||a>
ここでa=bのときを比較するのは、zδ'(z) = -δ(z)の、z=0のときの値を比べることなので意味がない。
簡単に言うと、上の矛盾は0δ'(0)を0としてしまったミスである。
追記:
形式的にz=0を入れた、0δ'(0) = -δ(0)はなにか0×∞^2 = ∞ みたいでかっこいい。
任意の関数f(z)と書いたが、f(z)=1/zと発散するものを入れてしまうと、
∫dz 1/z zδ'(z) = -∫dz1/z δ(z)が、左辺=0、右辺=1/0(?)となり変になる。このあたりよくわからない。
