1001が11で割れるのはすぐ分かるよ。
「1001の素数じゃないのかよ具合はそんじょそこらの自然数では太刀打ちできない」「７は野放しにしちゃいけない」「２とか５は独占欲が強い」 - Togetterまとめ
に対しての突っ込み。
x^3+1 = (x+1)(x^2-x+1)
xに10を代入して1001 = 11×91
x^5+1もx^7+1も(x+1)で割れるので100001も10000001も11で割れることが分かる。
一般的にn^m+1(nは2以上の整数、mは3以上の奇数)で表される整数はn+1で割れる。
補足:
10^n≡(-1)^n mod11
なので、奇数の桁の和-偶数の桁の和が11の倍数だったら11の倍数でした。
例えば、
143は1+3-4=0なので11の倍数
1001は1-1=0なので11の倍数
